抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(1/2,0),则抛物线C的方程为_,若点P在抛物线C上运动,点Q在直线x+y+5=0上运动,则|PQ|的最小值等于_.
题目
抛物线C:y
2=2px的焦点坐标为
F(,0),则抛物线C的方程为______,若点P在抛物线C上运动,点Q在直线x+y+5=0上运动,则|PQ|的最小值等于______.
答案
因为y
2=2px的焦点坐标为
F(,0),
所以p>0,且
=,解得p=1,
所以抛物线方程为y
2=2x,
设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0,
由
得y
2+2y+2m=0,
令△=0,即2
2-4×2m=0,解得m=
,
则切线方程为x+y+
=0,
两平行线间的距离d=
=
,即为|PQ|的最小值.
故答案分别为:y
2=2x,
.
由y
2=2px的焦点坐标为
F(,0),得
=,从而求得p值,设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0,直线x+y+5=0与切线距离即为|PQ|的最小值,联立切线方程与抛物线方程消掉x得y的二次方程,令△=0可求得m值,从而得切线方程,根据两点间距离公式即可求得答案.
直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质.
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、抛物线的性质,考查转化思想,解决本题的关键把|PQ|的最小值转化为直线与抛物线切线间的距离求解.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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