数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项an； （Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．

题目

数列{a_n}的前N项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

答案

（I）∵an+1=2Sn，∴Sn+1-Sn=2Sn，∴Sn+1Sn=3．又∵S1=a1=1，∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1（n∈N*）．∴当n≥2时，an-2Sn-1=2•3n-2（n≥2），∴an=1，n＝12•3n−2，n≥2（II）Tn=a1+2a2+3a3+...