设a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边.求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
题目
设a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边.求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
答案
证明:充分性:当A=90°时,a
2=b
2+c
2.…(2分)
于是x
2+2ax+b
2=0⇔x
2+2ax+a
2-c
2=0⇔[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,
该方程有两根x
1=-(a+c),x
2=-(a-c).…(5分)
同样,x
2+2cx-b
2=0⇔[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,
该方程亦有两根x
3=-(c+a),x
4=-(c-a).…(7分)
显然x
1=x
3,两方程有公共根.…(8分)
必要性:设方程x
2+2ax+b
2=0与x
2+2cx-b
2=0的公共根为m,…(9分)
则
| m2+2am+b2=0 (1) | m2+2cm−b2=0 (2) |
| |
…(11分)
(1)+(2)得m=-(a+c).(m=0舍去).…(13分)
将m=-(a+c)代入(1)式,得[-(a+c)]
2+2a•[-(a+c)]+b
2=0,
整理得a
2=b
2+c
2.…(15分)
所以A=90°.
故结论成立.…(16分)
要证明方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°,我们要分充分性和必要性两部分证明,充分性证明,即假设A=90°成立证明方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根,必要性的证明,设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根为m,证明A=90°,两们部分均成立才能得结论.
必要条件、充分条件与充要条件的判断.
本题考查的是充要条件的证明,有关充要条件的证明问题,要分两个环节:一是充分性;二是必要性,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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