如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°.E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点. (Ⅰ)求证:BF∥平面A′
题目
如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°.E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.
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(Ⅰ)求证:BF∥平面A′DE;
(Ⅱ)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.
答案
(Ⅰ)证明:取A′D的中点G,连接GF,GE,由条件易知FG∥CD,FG=12CD.BE∥CD,BE=12CD.所以FG∥BE,FG=BE.故所以BF∥EG.又EG⊂平面A'DE,BF⊄平面A'DE所以BF∥平面A'DE.(Ⅱ)在平行四边形ABCD中,设BC=a,则AB...
(Ⅰ)欲证BF∥平面A'DE,只需在平面A'DE中找到一条线平行于BF即可;而取A′D的中点G,并连接GF、GE,易证四边形BEGF为平行四边形,则BF∥EG,即问题得证.
(Ⅱ)欲求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值,需先找到直线FM与平面A′DE所成的角;而连接A′M,CE,由平面A′DE⊥平面BCD易证CE⊥A′M,且由勾股定理的逆定理可证CE⊥DE;再取A′E的中点N,连线NM、NF,则NF⊥平面A′DE,即∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角;最后在Rt△FMN中,易得cos∠FMN的值.
直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.
本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系及线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理论证能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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