若曲线y=x^4的一条切线L与直线x+4y-8=0垂直,则L的方程为什么?

题目

若曲线y=x^4的一条切线L与直线x+4y-8=0垂直,则L的方程为什么?
若曲线y=x^4的一条切线L与直线x+4y-8=0垂直,则L的方程为( )
A:4x-y-3=0 B:x+4y-5=0 C:4x-y+3=0 D:x+4y+3=0

答案

对 y = x^4 求导
dy = 4*x^3 * dx
dy/dx = 4*x^3
对于曲线 y = x^4 上任意一点 (t,t^4) ,其切线的斜率为 y = x^4 在该点的导数 4t^3
切线方程为 y - t^4 = 4t^3 * (x - t)
即 y - 4t^3 *x + 3t^4 = 0
当直线与x+4y-8=0垂直 时,二者斜率互为负倒数.因此
4t^3 = - 1/(-1/4) = 4
t^3 = 1
t = 1
所求直线为
y - 4x + 3 = 0
与 选择项 A 一致
答案为 A