∞ 证明下列级数的收敛性：∑(根号下n+2 减去2倍的根号下n+1 加上根号下n) n=1

题目

∞ 证明下列级数的收敛性：∑(根号下n+2 减去2倍的根号下n+1 加上根号下n) n=1
题目最后面的n=1不要看，n的范围是1到正无穷

答案

通项an＝根号(n+2)－根号(n+1)－【根号(n+1)－根号(n)】 分子有理化
＝1/【根号(n+2)+根号(n+1)】－1/【根号(n+1)+根号(n)】 通分
＝【根号(n)－根号(n+2)】/(【根号(n+2)+根号(n+1)】【根号(n+1)+根号(n)】) 分子有理化
＝－2/(【根号(n)+根号(n+2)】【根号(n+2)+根号(n+1)】【根号(n+1)+根号(n)】)
等价于－2/(8n^(3/2))＝－1/【4n^(3/2)】,故原级数收敛.