求函数y=|x2-5x+6|在x∈[-1,a]上的值域.
题目
求函数y=|x2-5x+6|在x∈[-1,a]上的值域.
答案
原函数可化为f(x)=
| x2−5x+6,x≤2或x≥3 | −x2+5x−6,2<x<3 |
| |
,该函数在区间(-∞,2],[
,3]上是减函数;在区间(2,
),(3,+∞)上是增函数.
其图象如图所示:
(1)当a≤2时,原函数在[-1,a]上递减,所以y
min=f(a)=a
2-5a+6,y
max=f(-1)=12,所以此时值域为[a
2-5a+6,12];
(2)当2<a≤6时,因为f(
)=
<f(-1)=f(6)=12,所以由图象可知,函数f(x)在区间[-1,a]上的最小值为0,最大值为f(-1)=12,所以此时值域为[0,12];
(3)当a>6时,结合(2)可知以及图象可知,y
min=0,y
max=f(a)=a
2-5a+6,所以此时值域为[0,a
2-5a+6].
综上可知,当a≤2时,值域为[a
2-5a+6,12];当2<a≤6时,值域为[0,12];当a>6时,值域为[0,a
2-5a+6].
先将函数的绝对值符号去掉,化成分段函数,然后给出该函数的单调区间,再讨论函数在[-1,a]上的单调性,从而求出该函数的在区间[-1,a]上的值域.
函数的最值及其几何意义.
本题考查了利用函数单调性求函数值域的方法,关键是利用如何画出函数的图象,进一步研究该函数的单调性.让学生充分体会数形结合的思想在研究函数性质时的作用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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