求二重积分∫∫√(x2+y2)dxdy其中积分区域{(x,y)|x2+y2

题目

求二重积分∫∫√(x2+y2)dxdy其中积分区域{(x,y)|x2+y2

答案

用极坐标来解吧,
令x=r*cosθ,y=r*sinθ
那么显然√(x²+y²)=r,
由x²+y²≤2x可以得到
r²≤2r*cosθ即r≤2cosθ
故r的范围是0到2cosθ
而0≤y≤x,
则0≤sinθ≤cosθ
所以θ的范围是0到π/4
那么
∫∫√(x²+y²)dxdy
=∫∫ r² dr *dθ
=∫(上限π/4,下限0)dθ *∫(上限2cosθ,下限0) r² dr
=1/3 *∫(上限π/4,下限0) (2cosθ)^3dθ
=8/3 *∫(上限π/4,下限0) (cosθ)^3dθ
=8/3 *∫(上限√2 /2,下限0) cos²θ d(sinθ)
=8/3 *∫(上限√2 /2,下限0) 1 -sin²θ d(sinθ)
=8/3 *[sinθ - 1/3 *(sinθ)^3] 带入sinθ的上限√2 /2和下限0
=10√2 /9