某大楼共n（n大于1,为正整数）层,现每层指定一人,共n人集中到设在第k(小于等于1,大于等于n）层的会议室开会,如果相邻两层楼梯的长度相等,求使n位开会人员上,下楼梯到达会议室所走路程总和和最短时的

题目

某大楼共n（n大于1,为正整数）层,现每层指定一人,共n人集中到设在第k(小于等于1,大于等于n）层的会议室开会,如果相邻两层楼梯的长度相等,求使n位开会人员上,下楼梯到达会议室所走路程总和和最短时的k值.

答案

设相邻两层楼梯长度为1,则总路程为第k层的人都走0,第k+1层的走1,依次类推,第n层的人走n-k,同理,第k-1层的人走1,依次类推,第一层的人走k-1,所以总路程S=1+2+3+···+（n-k)+1+2+···+（k-1)=（n-k)(n-k+1)/2+k(k-1)/2=k^2-(n+1)k+n(n+1)/2,这是一个二次函数,在定点取得最小值,即当k=(n+1)/2时