如图所示，⊙O半径为2，弦BD=23，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，求四边形ABCD的面积．

题目

如图所示，⊙O半径为2，弦BD=2

3

，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，求四边形ABCD的面积．

答案

连接OA交BD于点F，连接OB，
∵OA在直径上且点A是弧BD中点，
∴OA⊥BD，BF=DF=

3

在Rt△BOF中
由勾股定理得OF²=OB²-BF²
OF=

22−( 3 )2

=1
∵OA=2
∴AF=1
∴S_△ABD=

2 3 ×1

2

=

3

∵点E是AC中点
∴AE=CE
又∵△ADE和△CDE同高
∴S_△CDE=S_△ADE
∵AE=EC，
∴S_△CBE=S_△ABE．
∴S_△BCD=S_△CDE+S_△CBE=S_△ADE+S_△ABE=S_△ABD=

3

∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=2

3

．

由A是弧BD的中点，根据垂径定理，可知OF⊥BD，且BF=DF=

1

2

BD=

3

，在Rt△BOF中，利用勾股定理，可求出OF=1，即AF=1，那么，S_△ABD=

1

2

×BD×AF=

3

，而E是AC中点，会出现等底同高的三角形，因而有S_四边形=2S_△ABD=2

3

．

本题考点：圆心角、弧、弦的关系；勾股定理．

考点点评：本题利用了垂径定理、勾股定理，还有等底同高的三角形面积相等等知识．