一道数学题:如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
题目
一道数学题:如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
1)求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式;
(2)过点A作AP∥BC交抛物线于点P.求点P的坐标以及四边形ACBP的面积;
(3)在抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使以A、M、N三点为顶点的三角形与三角形PCA相似.若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
:易知:A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);
则OA=OB=OC=1,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=2;
又∵AP∥BC,
∴∠PAC=90°;
易知直线BC的解析式为y=x-1,
由于直线AP∥BC,可设直线AP的解析式为y=x+h,由于直线AP过点A(-1,0);
则直线AP的解析式为:y=x+1,
联立抛物线的解析式:{y=x+1y=x2-1,
解得{x=2y=3,{x=-1y=0;
故P(2,3);
∴AP=(2+1)2+32=32;
Rt△PAC和Rt△AMG中,∠AGM=∠PAC=90°,且PA:AC=32:2=3:1;
若以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似,则AM:MG=1:3,或AM:MG=3:1;
设M点坐标为(m,m2-1),(m<-1或m>1)
则有:MG=m2-1,AG=|m+1|;
①当AM:MG=1:3时,m2-1=3|m+1|,m2-1=±(3m+3);
当m2-1=3m+3时,m2-3m-4=0,解得m=1(舍去),m=4;
当m2-1=-3m-3时,m2+3m+2=0,解得m=-1(舍去),m=-2;
∴M1(4,15),M2(-2,3);
②当AM:MG=3:1时,3(m2-1)=|m+1|,3m2-3=±(m+1);
当3m2-3=m+1时,3m2-m-4=0,解得m=-1(舍去),m=43;
当3m2-3=-m-1时,3m2+m-2=0,解得m=-1(舍去),m=23(舍去);
∴M3(43,79).
故符合条件的M点坐标为:(4,15),(-2,3),(43,79).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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