已知函f（x）=x2-8lnx，g（x）=-x2+14x （1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围； （3

题目

已知函f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值．

答案

（1）因为f′（x）=2x-

8

x

，所以切线的斜率k=f′（x）=-6
又f（1）=1，故所求切线方程为y-1=-6（x-1）即y=-6x+7．
（2）f′(x)＝2x−

8

x

＝

2(x+2)(x−2)

x

（x>0）
当0<x<2时，f'（x）<0，当x>2时，f'（x）>0，
要使f（x）在（a，a+1）上递增，必须a≥2g（x）=-x²+14x=-（x-7）²+49
如使g（x）在（a，a+1）上递增，必须a+1≤7，即a≤6
由上得出，当2≤a≤6时f（x），g（x）在（a，a+1）上均为增函数
（3）方程f（x）=g（x）+m有唯一解 ⇔

y＝m y＝2x2−8lnx−14x

有唯一解
设h（x）=2x²-8lnx-14x
h′(x)＝4x−

8

x

−14＝

2

x

(2x+1)(x−4)（x>0）h'（x），h（x）随x变化如下表

x	（0，4）	4	（4，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	极小值-24-16ln2	↗

由于在（0，+∞）上，h（x）只有一个极小值，
∴h（x）的最小值为-24-16ln2，
当m=-24-16ln2时，方程f（x）=g（x）+m有唯一解．

（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）由已知中函数f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x的解析式，我们易求出他们导函数的解析式，进而求出导函数大于0的区间，构造关于a的不等式，即可得到实数a的取值范围；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，则函数h（x）=f（x）-g（x）=2x²-8lnx-14x与y=m的图象有且只有一个交点，求出h'（x）后，易求出函数的最值，分析函数的性质后，即可得到满足条件的实数m的值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．