如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=90°，求证：CA+CB=2CD．

题目

如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=90°，求证：CA+CB=

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CD．

答案

证明：连接AD，BD，过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，∵AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°，∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，在Rt△ACM中，CM=22CA，在Rt△BCN中，CN=...

根据直径所对的圆周角是直角，以及角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=45°，过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM=

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CA，BN=

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CB，再利用角角边定理证明△ADM与△BDN全等，根据全等三角形对应边相等得到DN=AM，所以DN=CM，从而得到CM+CN=DN+CN=CD，整理即可得证．

本题考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键．