如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分∠ACB,∠ACB=90°,求证:CA+CB=2CD.

如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分∠ACB,∠ACB=90°,求证:CA+CB=2CD.

题目
如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分∠ACB,∠ACB=90°,求证:CA+CB=
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CD.
答案
证明:连接AD,BD,过A作AM⊥CD,过B作BN⊥CD,垂足分别为M、N,∵AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°,∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,AD=BD,在Rt△ACM中,CM=22CA,在Rt△BCN中,CN=...
根据直径所对的圆周角是直角,以及角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=45°,过A作AM⊥CD,过B作BN⊥CD,垂足分别为M、N,得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM=
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CA,BN=
2
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CB,再利用角角边定理证明△ADM与△BDN全等,根据全等三角形对应边相等得到DN=AM,所以DN=CM,从而得到CM+CN=DN+CN=CD,整理即可得证.

圆周角定理;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰直角三角形.

本题考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质,以及等腰直角三角形的判定与性质,作出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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