已知函数f（x）=x3-3x； （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）求f（x）在区间[-3，2]上的最值．

题目

已知函数f（x）=x³-3x；
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-3，2]上的最值．

答案

（I）∵f（x）=x³-3x，
∴f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令 f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若  x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数，
若  x∈（-1，1），则f'（x）＜0，
故f（x）在（-1，1）上是减函数；
（II）∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴当x=-3时，f（x）在区间[-3，2]取到最小值为-18．
∴当x=-1或2时，f（x）在区间[-3，2]取到最大值为2．

（Ⅰ）先求出函数f（x）=x³-3x的导函数f′（x），分别令f′（x）＞0和f′（x）＜0便可求出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分别求出两个短点f（-3）和f（2）的值以及极值f（-1）和f（1）的值，比较一下便可求出f（x）在区间[-3，2]上的最大值和最小值．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数在闭区间上的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．