解方程 10^(x^2)=2^(2x+1).log2[2^(-x)-1]log1/2[2^(-x+1)-2]+2=0

题目

解方程 10^(x^2)=2^(2x+1).log2[2^(-x)-1]log1/2[2^(-x+1)-2]+2=0

答案

1.解方程 10^(x²)=2^(2x+1).
两边取常用对数得：x²=(2x+1)lg2,即有x²-2(lg2)x-lg2=0,
故x=[2lg2±√(4lg²2+4lg2)]/2=lg2±√(lg²2+lg2).
2.log₂[2^(-x)-1]log‹1/2›[2^(-x+1)-2]+2=0
将(1/2)为底的对数换成2为底的对数,得：
-log₂[2^(-x)-1]log₂[2^(-x+1)-2]+2=0
即有log₂[2^(-x)-1]log₂{2[2^(-x)-1]}-2=0
log₂[2^(-x)-1]{1+log₂[2^(-x)-1]}-2=0
令2^(-x)-1=u,则上式变为(log₂u)(1+log₂u)-2=(log₂u)²+log₂u-2=(log₂u+2)(log₂u-1)=0
故由log₂u+2=0,得u₁=1/4；由log₂u-1=0,得u₂=2.
再由2^(-x)-1=1/4,得2^(-x)=5/4,-x=log₂(5/4),故x₁=-log₂(5/4)=2-log₂5；
由2^(-x)-1=2,得2^(-x)=3,-x=log₂3,故x₂=-log₂3.