如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE． 求证：（1）BE=BC； （2）AE2=AC•EC．

题目

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．
求证：（1）BE=BC；
（2）AE²=AC•EC．

答案

证明：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵DE是AB的中垂线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=36°，
∴∠EBC=36°，
∴∠CEB=72°，
∴∠CEB=∠C，
∴BE=BC；
（2）∵∠A=∠EBC=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴AB：BC=BC：CE，
∵AB=AC，BC=BE=AE，
∴AC：AE=AE：CE，
∴AE²=AC•CE．