设A和B为抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，若△ABM为Rt△，求k的值．

题目

设A和B为抛物线y=-3x²-2x+k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，若△ABM为Rt△，求k的值．

答案

如图，因抛物线与x轴有两个相异的交点，
所以△=4-4k×（-3）>0，
解得，k>-

1

3

，依题意∠AMB=90°，AM=BM，过M作MN⊥x轴于N，则显然有MN=

1

2

AB，
又因MN=

4k×(-3)-4

4×(-3)

=k+

1

3

，
AB=

(x1-x2)2

，
=

(x1+x2)2-4x1x2

，
=

(- 2 3 )2-4(- k 3 )

，
=

2

3

1+3k

，
所以k+

1

3

=

1

2

×

2

3

1+3k

．
解得k₁=0，k₂=-

1

3

（舍去）．
故答案为：k=0．

先由根的判别式求出k的取值范围，再画出图形，利用抛物线的顶点式表示出M的坐标，利用抛物线的对称性及等腰三角形的性质可知MN=

1

2

AB，由两点间的距离公式即可用k表示出AB的值，再由MN=

1

2

AB即可求出k的值．

本题考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；勾股定理．

考点点评：本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点问题，熟知二次函数的性质、等腰三角形的性质及两点间的距离公式是解答此题的关键．