请证明爱尔可斯定理:若△ABC和△DEF都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形.

请证明爱尔可斯定理:若△ABC和△DEF都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形.

题目
请证明爱尔可斯定理:若△ABC和△DEF都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形.
答案
证明:连接AE、CE、CD,M是AE的中点,N是CE的中点,H是CD的中点,连接QM、QN、PM、CN、PH、GH,
∵△PQG由线段AD、BE、CF的中点构成的三角形,M是AE的中点,N是CE的中点,H是CD的中点,
∴QM=
1
2
AB,QN=
1
2
BC
,PH=
1
2
AC,NG=
1
2
EF,PM=
1
2
DE
,HG=
1
2
DF,∠NQE=∠CBE,∠AMP=∠AED,∠ABE=∠MQE,
∵AB=BC=AC,EF=DE=DF,
∴QM=QN=PH,PM=NG=HG,
∵∠PMQ=∠AMQ+∠AMP=∠MQE+∠QEM+∠AED=∠MQN+∠NQE+∠QED=∠ABE+∠QED=∠ABC+∠CBE+∠QED=60°+∠EBC+∠QED,∠QNG=∠QNC+∠CNG=∠NQE+∠QEN+∠NED+∠DEF=∠NQE+∠QED+60°,
∴∠PMQ=∠GNQ,
在△PQM和△GQN中,
QM=QN
PM=NG
∠PMQ=∠GNQ

∴△PQM≌△GQN(SAS),
∴PQ=QG,
同理可证:PG=PQ=QG,
∴△PQG是正三角形.
连接AE、CE、CD,M是AE的中点,N是CE的中点,H是CD的中点,连接QM、QN、PM、CN、PH、GH,根据三角形的中位线定理得出QM=
1
2
AB,QN=
1
2
BC
,PH=
1
2
AC,NG=
1
2
EF,PM=
1
2
DE
,HG=
1
2
DF,∠NQE=∠CBE,∠AMP=∠AED,∠ABE=∠MQE,进而证得QM=QN=PH,PM=NG=HG,∠PMQ=∠GNQ=∠PHG,根据SAS证明三角形全等,证得PG=PQ=QG即可证得.

全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;三角形中位线定理.

本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的中位线的性质等,本题的难点是利用三角形的外角的定理证得∠PMQ=∠GNQ=∠PHG.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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