过p(1.2)的直线l,与圆x²+y²-4x-2y-11=0交于M,N两点,若MN=2根号15,求l的方程

题目

过p(1.2)的直线l,与圆x²+y²-4x-2y-11=0交于M,N两点,若MN=2根号15,求l的方程

答案

x²+y²-4x-2y-11=0
∴ (x-2)²+(y-1)²=16
∴ 圆心是C(2,1),半径R=4
设圆心到直线L的距离是d
利用垂径定理,
d=√[R²-(MN/2)²]
=√(16-15)
=1
直线L过点P（1,2）
（1）直线L的斜率不存在,
则L：x=1
此时,圆心C(2,1)到L的距离d=1
∴ x=1满足题意.
（2）直线L的斜率存在
则L：y-2=k(x-1)
即 kx-y+2-k=0
∴ 圆心C(2,1)到L的距离d=|2k-1+2-k|/√(k²+1)=1
即 |k+1|=√(k²+1)
∴ k²+2k+1=k²+1
∴ k=0
∴ L：y=2
综上所述,L的方程是x=1和y=2