试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同

题目

试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同
设该四位数为1000a+100a+10b+b,则
1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11（100a+b）
故1,又因为(a+b)≤18
所以a+b=11,
带入上式得 四位数=11×（a×100+（11－a）） =11×（a×99+11） =11×11×（9a+1)
故9a+1必须为完全平方数.由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得,9a+1=19、28、27、46、55、64、73.所以只有a=7一个解；此时b=4.因此四位数是7744=112×82=88×88.
为什么100a+b被11整除,就等价于a+b被11整除?怎么推出来的?

答案

1000a+100a+10b+b=11（100a+b）是完全平方数,
∴100a+b中有因数11,
而100a+b=99a+(a+b)=11×9a+(a+b)
∴a+b一定是11的位数.