已知四边形ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,AB=2,PA=AD=4,E为BC的中点.（1）求证：DE垂直平面PAE

题目

已知四边形ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,AB=2,PA=AD=4,E为BC的中点.（1）求证：DE垂直平面PAE

答案

∵PA⊥平面ABCD,而DE在平面ABCD上,　∴DE⊥PA.
∵ABCD是矩形,　∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°、AB＝CD＝2、AD＝BC＝4,
而E是BC的中点,　∴BE＝CE＝2.
∴△ABE是以AE为底边的等腰直角三角形,　△CDE是以DE为底边的等腰直角三角形,
∴∠BAE＝∠CDE＝45°,　∴∠EAD＝∠EDA＝45°,　∴DE⊥AE.
由DE⊥PA、DE⊥AE、PA∩AE＝A,得：DE⊥平面PAE.