设f(x)的定义域为R,若存在常数G>0,使/f(x)/

题目

设f(x)的定义域为R,若存在常数G>0,使/f(x)/

答案

存在常数G,使得|f(x)|≤G|x|,即当x=0时,必须满足f(0)≤0,当x≠0时,有：|f(x)|/|x|≤G.
1、f(x)=(2x²)/(x²－x＋1)
当x=0时,f(0)=0,满足；当x≠0时,|f(x)|/|x|=|2x|/|x²－x＋1|=2/[|x|－1＋1/|x|],
因为|x|＋1/|x|≥2,则：|f(x)|/|x|≤2,此时即有G=2；
2、f(x)=x²sinx,当x=0时,f(0)=0,满足；当x≠0时,|f(x)|/|x|=|xsinx|,不存在G,满足要求；
3、f(x)=2x(1－3^x),当x=0时,f(0)=0,满足；当x≠0时,|f(x)|/|x|=|2(1－3^x)|,由于3^x>0,则1－3^x