已知满足a+ b+ c=1,对任意正实数a,b,c,都有m(a^3+ b^3+ c^3)大于等于6(a^2+b^2+c^2)+1,求实数m的最小值?

题目

已知满足a+ b+ c=1,对任意正实数a,b,c,都有m(a^3+ b^3+ c^3)大于等于6(a^2+b^2+c^2)+1,求实数m的最小值?

答案

代入a = b = c = 1/3得,m/9 ≥ 3,因此m ≥ 27.
以下证明m = 27时不等式成立.
∵a > 0,9a³ > 0,
∴9a³+a ≥ 2·√(9a³·a) = 6a² (均值不等式),
∴9a³ ≥ 6a²-a.
另一方面,
∵27a³ > 0,1 > 0,
∴27a³+2 = 27a³+1+1 ≥ 3·³√(27a³·1·1) = 9a (均值不等式),
∴18a³ ≥ 6a-4/3.
于是27a³ = 9a³+18a³ ≥ 6a²-a+6a-4/3 = 6a²+5a-4/3.
同理,27b³ ≥ 6b²+5b-4/3,27c³ ≥ 6c²+5c-4/3.
相加得27(a³+b³+c³) ≥ 6(a²+c²+c²)+5(a+b+c)-4 = 6(a²+b²+c²)+1.
因此m的最小值就是27.
注:使用均值不等式时,系数的选择是为了a = 1/3时可以成立等号.