已知函数f(x)=px-p/x-2linx,若函数在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围

题目

已知函数f(x)=px-p/x-2linx,若函数在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围

答案

f(x)=px-p/x-2ln(x),易知其定义域为x＞0
求导得
f'(x)=p+p/(x^2)-2/x
=p[(1/x)^2]-2(1/x)+p
要使f(x)在定义域内为增函数,则f'(x)≥0应在x＞0恒成立
即f'(x)=0无解,
所以p＞0,且△=4-4p^2＜0
解得p＞1；
讨论临界点p=1：
当p=1时,显然f'(x)=(1/x-1)^2＜0不成立,
但若取f'(x)=0,则x=1,
则当x＞1时,f'(x)＞0,f(x)递增；
当0＜x＜1时,f'(x)＞0,f(x)递增；
即p=1时,f(x)递增.
综上所述,p≥1.