已知函数f（x）=x3+2x，若f（cos2θ-2m）+f（2msinθ-2）＜0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）=x³+2x，若f（cos²θ-2m）+f（2msinθ-2）＜0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．

∵f（x）的定义域为R，
∴f（x）在R上是奇函数且是增函数；
∵f（cos²θ-2m）＜-f（2msinθ-2）=f（2-2msinθ），
∴cos²θ-2m＜2-2msinθ，即cos²θ-2＜2m（1-sinθ），
（1）当sinθ=1时，∴-2＜0恒成立，∴m∈R；
（2）当sinθ≠1即1-sinθ＞0时，有2m＞

cos2θ−2

1−sinθ

＝

−sin2θ−1

1−sinθ

，设g(θ)＝

−sin2θ−1

1−sinθ

＝

−(1−sinθ)2+2(1−sinθ)−2

1−sinθ

＝−[(1−sinθ)+

2

1−sinθ

]+2，
∵1−sinθ＞0∴1−sinθ+

2

1−sinθ

≥2

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