已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函数表达式.
题目
已知
≤a≤1,若f(x)=ax
2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函数表达式.
答案
f(x)=ax
2-2x+1的对称轴为x=
,
∵
≤a≤1,∴1
≤≤3,
∴f(x)在[1,3]上,N(a)=f(
)=1-
.
∵f(x)=ax
2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),
∴①当1
≤≤2,即
≤a≤1时,
M(a)=f(3)=9a-5,N(a)=f(
)=1-
.
g(a)=M(a)-N(a)=9a+
-6.
②当2
≤≤3,即
≤a<时,
M(a)=f(1)=a-1,N(a)=f(
)=1-
.
g(a)=M(a)-N(a)=a+
-2.
∴g(a)=
.
f(x)=ax
2-2x+1的对称轴为x=
,由
≤a≤1,知1
≤≤3,所以f(x)在[1,3]上,N(a)=f(
)=1-
.由a的符号进行分类讨论,能求出g(a)的解析式.
函数解析式的求解及常用方法.
本题考查函数的解析式的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想的合理运用.
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