求级数(-1)^(n-1)/n^2的和

题目

求级数(-1)^(n-1)/n^2的和
 

答案

如果可以使用结论∑{1 ≤ n} 1/n^2 = π^2/6,那么求这个和不难:
∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)/n^2
= ∑{1 ≤ k} 1/(2k-1)^2 - ∑{1 ≤ k} 1/(2k)^2 (对n分奇偶,n = 2k-1或n = 2k)
= ∑{1 ≤ k} (1/(2k-1)^2+1/(2k)^2) - 2·∑{1 ≤ k} 1/(2k)^2
= ∑{1 ≤ n} 1/n^2 - 2·∑{1 ≤ k} 1/(2k)^2
= ∑{1 ≤ n} 1/n^2 - 1/2·∑{1 ≤ k} 1/k^2
= 1/2·∑{1 ≤ n} 1/n^2
= π^2/12.
如果不能用∑{1 ≤ n} 1/n^2 = π^2/6就比较麻烦了.
一种方法是用Fourier级数,例如考虑f(x) = x在(-π,π)上的Fourier展开,
然后用Parseval恒等式可以证明∑{1 ≤ n} 1/n^2 = π^2/6.
或者也可以直接考虑f(x) = x^2在(-π,π)上的Fourier展开,
然后直接代入x = 0证明∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)/n^2 = π^2/12.