已知双曲线C的方程为x^2-y^2/2=1,直线x-y+m=0与双曲线C交于两点A、B.且线段AB的中点在圆x^2+y^2=5上,求m

题目

已知双曲线C的方程为x^2-y^2/2=1,直线x-y+m=0与双曲线C交于两点A、B.且线段AB的中点在圆x^2+y^2=5上,求m

答案

设A,B点坐标为；(x1,y1),(x2,y2),则：
AB的中点坐标为：( (x1+x2)/2,y1+y2)/2 ).
依题意得：
x1^2-y1^2/2=x2^2-y2^2/2=1,
x1-y1+m=x2-y2+m=0.
所以(x1^2-x2^2)=(y1^2-y2^2)/2,
x1-x2=y1-y2,
所以 x1+x2=(y1+y2)/2.（上两式相除而得）
又AB的中点在直线x-y+m=0,
所以 (x1+x2)/2-(y1+y2)/2=m,
所以 (x1+x2)/2=-m,(y1+y2)/2=-2m.
故 AB的中点坐标为：(-m -2m),
代入圆：x^2+y^2=5,得：
(-m)^2+(-2m)^2=5,
所以 m=1,或 -1.