光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求反射光线所在的直线方程.

光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求反射光线所在的直线方程.

题目
光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求反射光线所在的直线方程.
答案
设点P关于直线x+y+1=0对称点P′(m,n),
kPP′
3−n
2−m
=1
m+2
2
+
n+3
2
+1=0
,解之得
m=−4
n=−3

可得P′(-4,-3),
∵点P(2,3)射到直线x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),
∴反射光线所在直线为P′Q所在直线
∵P′Q的斜率k=
1+3
1+4
=
4
5

∴直线P′Q的方程为y-1=
4
5
(x-1),化简得:4x-5y+1=0.
即反射光线所在的直线方程为4x-5y+1=0.
利用轴对称的性质,建立关系式算出点P关于直线x+y+1=0对称点P′(-4,-3).根据镜面反射原理可得反射光线所在直线为P′Q所在直线,求出直线P′Q的方程并化成一般式,即得反射光线所在的直线方程.

与直线关于点、直线对称的直线方程.

本题给出点P经已知直线反射后经过定点,求反射光线所在的直线方程.着重考查了轴对称的性质、直线的斜率与直线方程的求法等知识,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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