高数 多元函数微分学 "求椭球面x^2 + 2y^2 + z^2 = 1上平行于平面x - y + 2z = 0的切平面方程"

题目

高数 多元函数微分学 "求椭球面x^2 + 2y^2 + z^2 = 1上平行于平面x - y + 2z = 0的切平面方程"

答案

记 F=x^2+2y^2+z^2-1, F'=2x, F'=4y, F'=2z
设切点 (a, b, c), 则 切平面的法向量是 { a, 2b, c}
故得 a/1=2b/(-1)=c/2= t, a=t, b=-t/2, c=2t
由 a^2+2b^2+c^2=1 得 (11/2)t^2=1, 解得 t=±√(2/11).
切线方程 a(x-a)+2b(y-b)+c(x-c)=0, 即 ax+2by+cz=1
对于 t=√(2/11),a=√(2/11), 2b=-√(2/11),c=2√(2/11),
切平面方程是 x-y+2z= √(11/2)；
对于 t=-√(2/11),a=-√(2/11), 2b=√(2/11),c=-2√(2/11),
切平面方程是 x-y+2z= -√(11/2).