已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求y=f(x2-2)的值域.

已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求y=f(x2-2)的值域.

题目
已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求y=f(x2-2)的值域.
答案
设函数f(x)=ax2+bx+c
∵f(0)=0,所以c=0,
即f(x)=ax2+bx,
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)=ax2+2ax+a+bx+b=f(x)+x+1=ax2+bx+x+1,
消去相同项得2ax+a+b=x+1
即2a=1,a+b=1,
解得a=b=
1
2

∴f(x)=
1
2
x2+
1
2
x
=
1
2
(x+
1
2
)2
1
8
,该函数在(-∞,-
1
2
)上递减,在[
1
2
,+∞)上递增,
对于函数求y=f(x2-2),令t=x2-2≥-2,所以要求函数y=f(x2-2)值域,即求函数y=f(t)在[-2,+∞)上的值域,
所以f(t)≥f(
1
2
)=-
1
8

所以函数y=f(x2-2)的值域为[-
1
8
,+∞).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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