若自然数n可以代表成3个连续自然数的和,也可以表示成11个连续自然数的和,还可以表示为12个连续自然数的和,则n的最小值是多少?

题目

若自然数n可以代表成3个连续自然数的和,也可以表示成11个连续自然数的和,还可以表示为12个连续自然数的和,则n的最小值是多少?

答案

假设这个数是n个自然数之和,设这些连续数中最小的数为m,则这个数可理解为等差为1的等差数列的和,有：N=S=（m+m+n-1）n/2=nm+(n-1)n/2>=（n+1)n/2,如n为奇数,n必为该数的约数；若n为偶数,则n/2必为该数的约数；
所以N必为3、11、6的公倍数,其最小公倍数为66,即N必为66的倍数,同时N≥（12+1）*12/2=78,故N=66k,（k∈自然数,且k≥2） 故这个最小数为132