已知平面上3点A B C 满足 向量AB的模=3 向量BC的模=4 向量CA的模=5

题目

已知平面上3点A B C 满足 向量AB的模=3 向量BC的模=4 向量CA的模=5
求 向量AB·向量BC+向量BC·向量CA+向量CA·向量AB=?
很明显,三角形ABC应为以B为直角顶点的直角三角形.
所以向量AB和向量BC的夹角的余弦为0
向量CA和向量BC的夹角的余弦为-4/5
向量AB和向量CA的夹角的余弦为-3/5
为什么余弦是负的

答案

易知AB垂直于BC
所以向量AB和向量BC的夹角的余弦为0
而向量CA和向量BC的夹角的余弦为cos(180°-∠ACB）=-cos∠ACB=-4/5
向量AB和向量CA的夹角的余弦为cos(180°-∠BAC）=-cos∠BAC=-3/5
要注意两个向量的方向,他们的夹角明显是大于90°的（后两者）