如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=3，BC=2． （1）证明：AB⊥A1C； （2）求二面角A-A1C-B的余弦值．

题目

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=

3

，BC=2．

（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

答案

（1）证明：由直棱柱的性质可得，AA1⊥平面ABC∴AA1⊥AB∵在△ABC中AB=1，AC=3，BC=2，AB2+AC2=BC2∴AB⊥AC又AC∩AA1=A∴AB⊥平面ACC1A1，又∵A1C⊂平面ACC1A1∴AB⊥A1C（2）连接A1C，A1B由已知可得A1B＝BC＝2 ...

（1）先证明AB⊥平面ACC₁A₁，即可证明AB⊥A₁C；
（2）连接A₁C，A₁B，取A₁C的中点D，连接AD，BD可得∠ADB是二面角A-A₁C-B的平面角，从而可求二面角A-A₁C-B的余弦值．

本题考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．

考点点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．