五个自然数的和与积相等,这五个自然数分别是多少

题目

五个自然数的和与积相等,这五个自然数分别是多少

答案

0 0 0 0 0
5个数中如果有1个0,积必为0,和>=0,因此只能全为0
2 2 2 1 1
2 5 1 1 1
3 3 1 1 1
a>=2,b>=2时,必有(a-1)(b-1)>1,展开得ab>=a+b,且等号只有a=b=2成立
因此这5个数中必有1或2
若这5个数中没有1,a,b,c,d,e,ab>=a+b>=4,abc>(a+b)c(因为上面不等号等号成立条件为ab=c=2不可能成立）,abc>=a+b+c>=6...不可能有解
因此这5个数为a,b,c,d,1;abcd=a+b+c+d+1,若a,b,c,d均>=2,abcd>abc+d,因此abcd>=abc+d+1(整数之间至少相差1）>(a+b)c+d+1 abcd>=a+b+c+d+2,矛盾
因此这5个数为a,b,c,1,1;abc=a+b+c+2,首先,可看出a=b=c=2时为一组解,若a,b,c均大于等于2且有一个大于2(比如a),ab>=a+b+1,abc>=(a+b+1)c=(a+b)c+c>=(a+b)c+2(因为c>=2)>a+b+c+2,矛盾.因此若有其他解,a,b,c中必有1个为1,比如为c,于是ab=a+b+3 (a-1)(b-1)=4 可得3组整数解a=3,b=3;a=2,b=5或相反
因此总共四组解
0,0,0,0,0
2,2,2,1,1
2,5,1,1,1
3,3,1,1,1