已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(a∈R)(1)求f(x)的单调区间(2)求证:不等式1/lnx-1/x-1

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(a∈R)(1)求f(x)的单调区间(2)求证:不等式1/lnx-1/x-1

题目
已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(a∈R)(1)求f(x)的单调区间(2)求证:不等式1/lnx-1/x-1
答案
(1)函数f(x)=lnx-[a(x-1)/x],定义域x(0,+∞);
f'(x)=(1/x)-(a/x²),令 f'(x)=0,得函数驻点方程:(1/x)-(a/x²)=0,解得 x=a;
一、若 a<0,则题给函数无极值点,函数在整个定义域单调;
二、若 a>0,则当 00,函数单调增加;
(2)假定不等式形式为:(1/lnx)-[1/(x-1)]<1/2;
当 x→1+时,lnx>0,因 lim{lnx/(x-1)}=lim{1/x}=→+∞,题给不等式左端前项小于后项,结论成立;
取函数 F(x)=(1/lnx)-[1/(x-1)],在区间(1,2)内,F(x)连续可微,且 F'(x)=1/(x*ln²x)+1/(x-1)²>0 ,即 F(x) 是单调递增函数,结论成立;
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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