高中数学题目（数列）

题目

高中数学题目（数列）
在数列(a{n}）中,a{1}=1,a{n+1}=a{n}/(1+na{n})
求a{n}

答案

取倒数
1/a(n+1)=(1+nan)/an=1/an+n
1/a(n+1)-1/an=n
所以
1/an-1/a(n-1)=n-1
1/a(n-1)-1/a(n-2)=n-2
……
1/a3-1/a2=2
1/a2-1/a1=1
相加
1/an-1/a1=[(n-1)+(n-2)+……+1]=n(n-1)/2,
a1=1,1/a1=1
所以1/an=n(n-1)/2+1=(n²-n+2)/2
an=2/(n²-n+2)