已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点A1在底面ABC上的射影M为BC的中点,且点M到侧面AA1B
题目
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点A1在底面ABC上的射影M为BC的中点,且点M到侧面AA1B
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点A1在底面ABC上的
射影M为BC的中点,且点M到侧面AA1B1B的距离为 .
(Ⅰ)求二面角A1—AB—C的大小;
(Ⅱ)求侧棱AA1与底面ABC所成角的正切值;
(Ⅲ)求直线B1B与平面ACC1A1的距离.
M到侧面AA1B1B的距离为(四分之根号3)a。
答案
过M向AB作垂线,交AB于N.
由于M是A1的射影,A1M垂直于面ABC,所以A1M垂直于MN.
在直角三角形A1MN中,A1N边上的高(设为h)即为M到侧面AA1B1B的距离,即(四分之根号3)a;角A1NM即为二面角A1—AB—C的大小.
由于AB=AC=a,∠BAC=90°,可算出BC=(根号2)a,AM=(二分之根号2)a,MN=1/2a.
sin角A1NM=h/MN=(四分之根号3)a/(a/2)=根号3/2
(1)双面角A1—AB—C的大小为60度
因为A1M垂直于面ABC,所以面A1AM垂直于面ABC,
所以侧棱AA1与底面ABC所成角即为角A1AM.
tg角A1AM=A1M/AM
为求出A1M和AM,先将sin角A1NM换算一下.cos角A1NM=1/2
因为MN=1/2a, 计算出A1N=a,A1M=(二分之根号3)a
tg角A1AM=A1M/AM=(二分之根号3)a/(二分之根号2)a=根号3/根号2
(2)侧棱AA1与底面ABC所成角的正切值为根号下(3/2).
直线B1B与平面ACC1A1的距离即为点B到平面ACC1A1的距离.
因为面ACC1A1垂直于面A1ABB1,从B向AA1作垂线BF,垂线长度BF即为点B到平面ACC1A1的距离.
由A1N=a,AN=1/2a可得:tg角A1AN=A1N/AN=2,sin角A1AN=2/根号5
BF=AB*sin角A1AN=2a/根号5
(3)直线B1B与平面ACC1A1的距离为2a/根号5
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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