已知反比例函数y=1/x和一次函数y=2x-1,点A(1,1)在第一象限,且同时在上述两个函数的图像上,若OA=√2（根号2）,请问：在x轴上是否存在一点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,能找出几个

题目

已知反比例函数y=1/x和一次函数y=2x-1,点A(1,1)在第一象限,且同时在上述两个函数的图像上,若OA=√2（根号2）,请问：在x轴上是否存在一点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,能找出几个点?请把符合条件的P点坐标写出来；若不存在,请说明理由.
O是原点

答案

设点P为（a,0）（理由：X轴上）
当AP=AO时（理由：条件）
所以,AP的平方=AO的平方（两边同时平方）
（1-a）的平方+（1-0）的平方=（1-0）的平方+（1-0）的平方（两点距离公式）
解得 a=0（不合题意,舍去）或a=2
所以P（2,0）
当AP=PO时
所以,AP的平方=PO的平方
（1-a）的平方+（1-0）的平方=（a-0)的平方+（0-0）的平方
解得 a=1
所以P（1,0）
当AO=PO时
所以,AO的平方=PO的平方
（1-0）的平方+（1-0）的平方=（a-0)的平方+（0-0）的平方
解得 a=√2或a=-√2
所以P（√2,0）或（-√2,0）
综上所述：P（2,0）或（1,0）或（√2,0）或（-√2,0）