设x1、x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点. (1)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式; (2)若|x1|+|x2|=22,求b的最大值..
题目
设x
1、x
2(x
1≠x
2)是函数f(x)=ax
3+bx
2-a
2x(a>0)的两个极值点.
(1)若x
1=-1,x
2=2,求函数f(x)的解析式;
(2)若
|x1|+|x2|=2,求b的最大值..
答案
(1)∵f(x)=ax
3+bx
2-a
2x(a>0),
∴f'(x)=3ax
2+2bx-a
2(a>0)
依题意有
,
∴
(a>0).
解得
,
∴f(x)=6x
3-9x
2-36x..
(2)∵f'(x)=3ax
2+2bx-a
2(a>0),
依题意,x
1,x
2是方程f'(x)=0的两个根,
且
|x1|+|x2|=2,
∴(x
1+x
2)
2-2x
1x
2+2|x
1x
2|=8.
∴
(-)2-2•(-)+2|-|=8,
∴b
2=3a
2(6-a)
∵b
2≥0,
∴0<a≤6设p(a)=3a
2(6-a),
则p′(a)=-9a
2+36a.
由p'(a)>0得0<a<4,
由p'(a)<0得a>4.
即:函数p(a)在区间(0,4]上是增函数,
在区间[4,6]上是减函数,
∴当a=4时,p(a)有极大值为96,
∴p(a)在(0,6]上的最大值是96,
∴b的最大值为
4.
(1)由f(x)=ax
3+bx
2-a
2x(a>0),知f'(x)=3ax
2+2bx-a
2(a>0)依题意有
,由此能求出f(x).
(2)由f'(x)=3ax
2+2bx-a
2(a>0),知x
1,x
2是方程f'(x)=0的两个根,且
|x1|+|x2|=2,故(x
1+x
2)
2-2x
1x
2+2|x
1x
2|=8.由此能求出b的最大值.
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件.
本题考查函数解析式的求法和实数b的最大值的求法,对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,仔细解答,注意导数性质的灵活运用.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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