证明:矩阵A不可逆,则伴随矩阵行列式为0

题目

证明:矩阵A不可逆,则伴随矩阵行列式为0

答案

首先如果A=O,很容易看出A*=O,自然有|A*|=0.下面假设A≠O,A不可逆可知|A|=0,由于AA*=|A|E,因此AA*=O（0矩阵）.这里要用到矩阵乘积为O的一个结论：如果AB=O,则r(A)+r(B)≤n.因此r(A)+r(A*)≤n,由A≠O知r(A)≥1,因此r(A*)≤n-1,即A*不是满秩的,因此|A*|=0.