为什么单摆运动只有在5°以内才是简谐振动

题目

为什么单摆运动只有在5°以内才是简谐振动

答案

首先由牛顿力学,单摆的运动可作如下描述：
单摆受到的重力矩为：
M = - m * g * l * Sin x.
其中m为质量,g是重力加速度,l是摆长,x是摆角.
我们希望得到摆角x的关于时间的函数,来描述单摆运动.由力矩与角加速度的关系不难得到,
M = J * β.
其中J = m * l^2是单摆的转动惯量,β = x'（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度.
于是化简得到
x' * l = - g * Sin x.
我们对上式适当地选择比例系数,就可以把常数l与g约去,再移项就得到化简了的运动方程
x' + Sin x = 0.
因为单摆的运动方程（微分方程）是
x' + Sin x = 0…………（1）
而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是
x' + x = 0………………（2）
我们知道（1）式是一个非线性微分方程,而（2）式是一个线性微分方程.所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动.
不过,在x比较小时,近似地有Sin x ≈ x.（这里取的是弧度制.即当x -> 0时有Sin x / x = o(1).）因而此时（1）式就变为（2）式,单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动.
然后说一下为什么是5°.由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出）,所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的.
事实上5°≈0.087266弧度,Sin 5°≈0.087155,二者相差只有千分之一点几,是十分接近的.在低精度的实验中,这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）.但如果换成25°,误差高达百分之三,就不宜再看成是简谐振动了.
由于正弦函数的性质,这个近似是角度越小,越精确,角度越大越不精确.如果角度很大（比如60度处,误差高达17%）,就完全不能说它是简谐振动了.
上面的内容也可以参考：