已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解.

已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解.

题目
已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解.
答案
将方程化为a的表达式:(x+y-2)a=x-2y-5,
由于x,y的值与a的取值无关,即这个关于a的方程有无穷多个解,
所以有
x+y−2=0
x−2y−5=0

解得
x=3
y=−1
将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-5,要使这些方程有一个公共解,说明这个解与a的取值无关,即这个关于a的方程有无穷多个解,所以只须x+y-2=0且x-2y-5=0.联立以上两方程即可求出结果.

解二元一次方程组.

本题考查了关于x的方程ax=b有无穷解的条件:a=b=0,此知识点超出初中教材范围,属于竞赛题型.同时考查了二元一次方程组的解法.本题关键在于将已知方程按a整理以后,能够分析得出这个方程的解与a的取值无关,即这个关于a的方程有无穷多个解,从而转化为求解关于x、y的二元一次方程组.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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