已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y=x2+（a-3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是_．

题目

已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y=x²+（a-3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是______．

答案

依题意，应分为两种情况讨论，
①当二次函数顶点在x轴下方，
若y_x=1＜0且y_x=2≥0，即

1+(a−3)+3＜0 4+2(a−3)+3≥0

，解得此不等式组无解；
若y_x=2＜0且y_x=1≥0，即

1+(a−3)+3≥0 4+2(a−3)+3＜0

，解得-1≤a＜-

1

2

；
②当二次函数的顶点在x轴上时，
△=0，即（a-3）²-12=0，解得a=3±2

3

，
而对称轴为x=-

a−3

2

，可知1≤-

a−3

2

≤2，故a=3-2

3

．
故答案为：-1≤a＜-

1

2

或a=3-2

3

．

根据题意，当二次函数顶点在x轴下方或当二次函数的顶点在x轴上时，分情况讨论问题．借助于根的判别式即可解答．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题涉及二次函数的综合性质，难度中上．