如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上． （1）求∠AED的度数； （2）求证：AB=BC．

题目

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．

（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB=BC．

答案

（1）∵∠BCD=75°，AD‖BC，
∴∠ADC=105°．
又∵等边△DCE中，∠CDE=60°，
∴∠ADE=45°．
∵AB⊥BC，AD‖BC，
∴∠DAB=90°，
∴∠AED=45°．
（2）∵直角△AED中，∠AED=45°，即△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．
∵△DCE是等边三角形得CD=CE，
∴点C也在线段DE的垂直平分线上．
∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE．
连接AC，
∵∠AED=45°，
∴∠BAC=45°，
又AB⊥BC，
∴BA=BC．