如图，三个半径为3的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长是 _ ．

题目

如图，三个半径为

3

的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长是 ___ ．

答案

如图，∵连接AO、OP、PB、OE、PF、ON；
∴根据相切两圆性质得出OP=PN=ON=2

3

，
∴△ONP是等边三角形，
∴∠OPN=∠PON=∠ONP=60°，
∵根据切线性质得出OE⊥AB，PF⊥AB，
∴OE∥PF，OE=PF，
∴四边形OEFP是矩形，
∴OP∥AB，
同理PN∥BC，ON∥AC，
则∠OPN=∠ABC=60°，∠PON=∠BAC=60°
根据切线长定理∠ABP=

1

2

∠ABC=30°，∠EAO=30°，

在Rt△AOE中，∠EAO=30°，OE=

3

；
则AE=3，同理可得BF=3；
由于⊙O、⊙P外切，所以OP=2

3

；
故AB=AE+EF+BF=6+2

3

，根据切线长定理可得，AB=BC=AC，
因此△ABC的周长为：18+6

3

．

设与AB相切的两个圆为⊙O、⊙P，设切点为E、F，连接OA、OP、QB、OE、PF；在Rt△OAE中，根据⊙O的半径和∠BAO的度数可求得AE的长，同理可得BF的值，而⊙O、⊙P外切，那么EF（即OP）为两圆的半径和，由此可求得等边三角形的边长，进而可求得其周长．

本题考点：相切两圆的性质；等边三角形的性质．

考点点评：此题主要考查了相切两圆的性质、等边三角形的性质以及解直角三角形的应用，正确的构造直角三角形是解决此类问题的关键．