已知三个半径为根号3的圆两两外切,且三角形ABC的每一边都与其中两个圆内切,求三角形ABC的周长

题目

已知三个半径为根号3的圆两两外切,且三角形ABC的每一边都与其中两个圆内切,求三角形ABC的周长

答案

∵三圆两两相切,所以外切的△ABC为等边三角形（证明略）,如图,
∴BO2平分∠ABC,∠O2BC＝30°
∵O2D⊥BD
∴O2D/BD＝tan30°＝（√3）/3
∴BD＝O2D/〔（√3）/3〕＝（√3）/〔（√3）/3〕＝3
同理CE＝3
DE＝O2O3＝2√3
∴BC＝BD+DE+EC＝3+3+2√3＝6+2√3
∴△ABC的周长为：
3BC＝3×（6+2√3）＝18+6√3