过椭圆x^2/3+y^2/4=1的右焦点F作直线l交椭圆于A.B两点.求三角形OAB面积的最大值.

题目

过椭圆x^2/3+y^2/4=1的右焦点F作直线l交椭圆于A.B两点.求三角形OAB面积的最大值.

答案

椭圆的焦点为(0,1）设其直线为AB为y=kx+1
代入椭圆方程x²/3+y²/4=1,消去y得(3k²+4)x²+6kx-9=0
设A(x1,y1)B(x2,y2),则|x1-x2|=√[(x1+x2)²-4x1x2]=2√(k²+1)/(3k²+4)
故s=1/2*OF*|x1-x2|=1/2*{2√(k²+1)/(3k²+4)}=√(k²+1)/(3k²+4)
令t=√k²+1,∴k²=t²-1,∴3k²+4=3t²-3+4=3t²+1
∴s=t/(3t²+1)=1/[3t+(1/t)]≤1/2√3=√3/6
当且仅当3t=1/t,即t=√3/3时,s有最大值√3/6