设随机变量X的概率密度为f(x)=1/π(1+x^2),(－∞

题目

设随机变量X的概率密度为f(x)=1/π(1+x^2),(－∞

答案

    当y≤0时,F(y)=P(Y<y)=0    f(y)=F'(y)=0
           当y>0时, F(y)=P(Y<y)=P(X^2<y)=P(X<√y)+P(X>-√y)=P(X<√y)+1-P(X≤-√y)
                   f(y)=F'(y)=[1/π(1+y)][1/(2√y)]-[1/π(1+y)][-1/(2√y)]=1/π(1+y)][1/√y]
2.       E(arctanX)=∫(－∞,＋∞)arctanX[1/π(1+x^2)]dx=(1/2π)(arctanX)^2︱(－∞,＋∞)
       =2(1/2π)(π/2)^2=π/4