若lim{n^100/[n^k-(n-1)^k]}=A,n 趋向无穷大.A不等于0,则k=?,A=?

题目

若lim{n^100/[n^k-(n-1)^k]}=A,n 趋向无穷大.A不等于0,则k=?,A=?

答案

x→0时,(1＋x)^k－1与kx等价,所以,n→∞时,1-(1-1/n)^k与k/n等价分子分母同除以n^k,得A＝lim(n→∞) n^(100-k)/[1-(1-1/n)^k] ＝lim(n→∞) n^(100-k)/[－k/n] ＝－1/k×lim(n→∞) n^(101-k)所以,101－k＝0,得k＝10...